Решебник по алгебре и начала математического анализа 10 класс Колягин Проверочная работа (страница 95)

\[\mathbf{Проверочная\ работа\ (стр.95)}\]

\[\boxed{\mathbf{1}.}\]

\[123\ 456\ 781 \equiv 1(mod\ 9).\]

\[Число\ кратно\ 9,\ если\ сумма\ \]

\[его\ цифр\ кратна\ 9:\]

\[1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +\]

\[+ 8 = 36.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{2}.}\]

\[10 \cdot 5^{15} \equiv 10 \cdot 1^{15} \equiv 2(mod\ 4).\]

\[5 \equiv 1(mod\ 4).\]

\[\boxed{\mathbf{3}.}\]

\[a = 2^{85} + 3^{73}\]

\[85 \equiv 1(mod\ 4);\]

\[2^{5} = 32 \Longrightarrow последняя\ цифра\ 2.\]

\[73 \equiv 1(mod\ 4);\]

\[3^{5} = 243 \Longrightarrow последняя\ \]

\[цифра\ 3.\]

\[В\ выражении\ последняя\ \]

\[цифра:\]

\[2 + 3 = 5.\]

\[Ответ:5.\]

\[\boxed{\mathbf{4}.}\]

\[a = \underset{сумма\ цифр = 35}{\overset{8\ 675\ 423}{︸}} - \underset{сумма\ цифр = 35}{\overset{5\ 723\ 469}{︸}}\]

\[Тогда:\]

\[8\ 675\ 423 \equiv 3(mod\ 3);\]

\[5\ 723\ 468 \equiv 3(mod\ 3);\]

\[Следовательно:\]

\[3 - 3 = 0 \Longrightarrow a \vdots 3.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{5}.}\]

\[a = 123\ 456\ 780;\]

\[1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +\]

\[+ 8 + 0 = 36\ \vdots 3;\]

\[80\ \vdots 4.\]

\[Следовательно:\]

\[a\ \vdots 12.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]

\[\boxed{\mathbf{6}.}\]

\[n^{3} + 35n = n\left( n^{2} + 35 \right)\]

\[1)\ Пусть\ n = 2k:\]

\[2k\left( 4k^{2} + 35 \right) \Longrightarrow n \vdots 2.\]

\[Пусть\ n = 2k + 1:\]

\[(2k + 1)\left( (2k + 1)^{2} + 35 \right) =\]

\[= (2k + 1)\underset{\vdots 2}{\overset{\left( 4k^{2} + 4k + 36 \right)}{︸}}\ \vdots 2.\]

\[2)\ Пусть\ n - кратно\ 3;n = 3k:\]

\[n^{3} + 35n\ \vdots 3.\]

\[Пусть\ n\ не\ кратно\ 3;тогда\ \]

\[n = 3k + 1;n = 3k + 2.\]

\[n = 3k + 1:\]

\[(3k + 1)\left( (3k + 1)^{2} + 35 \right) =\]

\[= (3k + 1)\underset{\vdots 3}{\overset{\left( 9k^{2} + 6k + 36 \right)}{︸}}\ \vdots 3.\]

\[n = 3k + 2:\]

\[(3k + 2)\left( (3k + 2)^{2} + 35 \right) =\]

\[= (3k + 2)\underset{\vdots 3}{\overset{\left( 9k^{2} + 12k + 39 \right)\ }{︸}} \vdots 3.\]

\[Получаем:\]

\[n^{3} + 35n\ \ \vdots 6.\]

\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]