Задача 4: Первая машинистка печатает 180 страниц за 20 часов, а вторая — за 30 часов. Как распределить между ними 180 страниц, чтобы они напечатали их в кратчайший срок?

Решение задачи включает следующие шаги: 1. Определим скорость работы каждой машинистки: - Первая машинистка печатает 180 страниц за 20 часов, значит, её скорость равна: \[ \text{Скорость первой машинистки} = \frac{180}{20} = 9 \text{ страниц в час}. \] - Вторая машинистка печатает 180 страниц за 30 часов, значит, её скорость равна: \[ \text{Скорость второй машинистки} = \frac{180}{30} = 6 \text{ страниц в час}. \] 2. Введём переменные: - Пусть первая машинистка напечатает \( x \) страниц, тогда вторая машинистка напечатает \( 180 - x \) страниц. 3. Найдём время, которое потребуется каждой машинистке для своей части работы: - Первая машинистка затратит на \( x \) страниц: \[ t_1 = \frac{x}{9}. \] - Вторая машинистка затратит на \( 180 - x \) страниц: \[ t_2 = \frac{180 - x}{6}. \] 4. Чтобы напечатать 180 страниц за минимальное время, необходимо минимизировать максимальное из \( t_1 \) и \( t_2 \). Для этого приравняем \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{x}{9} = \frac{180 - x}{6}. \] 5. Решим уравнение: \[ 6x = 9(180 - x), \] \[ 6x = 1620 - 9x, \] \[ 6x + 9x = 1620, \] \[ 15x = 1620, \] \[ x = \frac{1620}{15} = 108. \] 6. Проверим распределение: - Первая машинистка печатает 108 страниц, а вторая — \( 180 - 108 = 72 \) страницы. - Время для первой машинистки: \[ t_1 = \frac{108}{9} = 12 \text{ часов}. \] - Время для второй машинистки: \[ t_2 = \frac{72}{6} = 12 \text{ часов}. \] Обе машинистки завершают работу одновременно за 12 часов. Ответ: Первая машинистка должна напечатать 108 страниц, а вторая — 72 страницы.