Вычислите выражение на изображении.

Решение: 1. Рассмотрим числитель: \[ \sqrt[3]{9 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{27}} \]. Упростим:\[ \sqrt[3]{\frac{9 \cdot \sqrt{3}}{27}} = \sqrt[3]{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt[3]{\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{3}}. \] 2. Рассмотрим знаменатель: \[ \sqrt{27} \cdot \sqrt[3]{9}.\] Упростим:\[ \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3 \cdot \sqrt{3}, \quad \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2}.\] Теперь подставим упрощённые выражения в исходное: \[ \frac{\sqrt[3]{\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{3}}}{3 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{3^2}}.\] Упростим: \[ \frac{\sqrt[3]{3^{1/2}} \cdot 3^{-1/3}}{3^{1+1/2} \cdot 3^{2/3}} = \frac{3^{1/6} \cdot 3^{-1/3}}{3^{3/2} \cdot 3^{2/3}} = \frac{3^{1/6 - 1/3}}{3^{3/2 + 2/3}} = \frac{3^{-1/6}}{3^{13/6}} = 3^{-14/6} = 3^{-7/3}.\] Ответ: \[ 3^{-7/3}. \]