Вычислить определитель системы уравнений: $$\begin{cases} 2x_1 - 3x_2 + x_3 = 5 \\ x_1 + x_2 - 3x_3 = 7 \\ 5x_1 - x_2 + 6x_3 = 1 \end{cases}$$

Для вычисления определителя матрицы системы уравнений: $$\begin{cases} 2x_1 - 3x_2 + x_3 = 5 \\ x_1 + x_2 - 3x_3 = 7 \\ 5x_1 - x_2 + 6x_3 = 1 \end{cases}$$ Нам нужно найти определитель матрицы коэффициентов: $$A = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 \\ 1 & 1 & -3 \\ 5 & -1 & 6 \end{bmatrix}$$ Определитель матрицы $$A$$ вычисляется следующим образом: $$|A| = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 6 \end{vmatrix} - (-3) \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -1 \end{vmatrix}$$ Вычисляем определители 2x2: $$\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 6 \end{vmatrix} = (1 \cdot 6) - (-3 \cdot -1) = 6 - 3 = 3$$ $$\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = (1 \cdot 6) - (-3 \cdot 5) = 6 + 15 = 21$$ $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = (1 \cdot -1) - (1 \cdot 5) = -1 - 5 = -6$$ Подставляем полученные значения обратно в формулу определителя: $$|A| = 2 \cdot 3 + 3 \cdot 21 + 1 \cdot (-6) = 6 + 63 - 6 = 63$$ Таким образом, определитель матрицы $$A$$ равен 63. **Ответ: 63**