Точка, лежащая внутри равнобедренного треугольника, равноудалена от вершин основания. Доказать, что эта точка лежит на высоте, проведенной к основанию.

Пусть точка P равноудалена от вершин A и B основания AB. Тогда отрезки PA и PB равны. Точка P будет лежать на биссектрисе угла при вершине C (так как это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла). В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, совпадает с высотой. Следовательно, точка P лежит на высоте, проведенной к основанию.