Сумма некоторого числа, большего 1, и числа, ему обратного, в 2 2/3 раза меньше разности их квадратов. Найдите эти числа.

\[Пусть\ x - некоторое\ число;\]

\[\ \frac{1}{x} - число\ ему\ обратное.\]

\[x + \frac{1}{x} - сумма\ этих\ чисел;\]

\[x^{2} - \frac{1}{x^{2}} - разность\ их\ \]

\[квадратов.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[2\frac{2}{3}\left( x + \frac{1}{x} \right) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}};\ \ \ \ \ \ \ x > 1.\]

\[\left( x - \frac{1}{x} \right)\left( x + \frac{1}{x} \right) = \frac{8}{3} \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right)\]

\[x - \frac{1}{x} = \frac{8}{3}\ \ \ \ \ \ \ | \cdot 3x\]

\[3x^{2} - 8x - 3 = 0\]

\[D = 16 + 9 = 25\]

\[x_{1} = \frac{4 + 5}{3} = 3;\ \ \]

\[\text{\ \ }x_{2} = \frac{4 - 5}{3} =\]

\[= - \frac{2}{3}\ (не\ подходит).\]

\[x = 3 - первое\ число.\]

\[\frac{1}{x} = \frac{1}{3} - второе\ число.\]

\[Ответ:3\ и\ \ \frac{1}{3}.\]