11. Сократите дробь \(\frac{p(b)}{p(\frac{1}{b})}\), если \(p(b) = (b + \frac{3}{b})(3b + \frac{1}{b})\).

Здравствуйте, ребята! Давайте разберем задачу. Нам нужно сократить дробь, где числитель и знаменатель - значения функции p(b), но в одном случае аргумент - это b, а в другом - \(\frac{1}{b}\).

**Решение:**

1. **Запишем функцию p(b):**

\(p(b) = (b + \frac{3}{b})(3b + \frac{1}{b})\)

2. **Найдем p(\(\frac{1}{b}\)):**

Подставим \(\frac{1}{b}\) вместо b в функцию p(b):

\(p(\frac{1}{b}) = (\frac{1}{b} + \frac{3}{\frac{1}{b}})(3 \cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{\frac{1}{b}})\)

\(p(\frac{1}{b}) = (\frac{1}{b} + 3b)(\frac{3}{b} + b)\)

3. **Запишем дробь \(\frac{p(b)}{p(\frac{1}{b})}\):**

\(\frac{p(b)}{p(\frac{1}{b})} = \frac{(b + \frac{3}{b})(3b + \frac{1}{b})}{(\frac{1}{b} + 3b)(\frac{3}{b} + b)}\)

4. **Упростим дробь:**

Заметим, что \(b + \frac{3}{b} = \frac{3}{b} + b\) и \(3b + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} + 3b\). Следовательно, числитель и знаменатель отличаются только порядком множителей, а значит, равны.

\(\frac{(b + \frac{3}{b})(3b + \frac{1}{b})}{(\frac{1}{b} + 3b)(\frac{3}{b} + b)} = 1\)

**Ответ:** 1

**Пояснение для школьника:**

Представьте, что у вас есть два одинаковых набора чисел, которые вы перемножаете. Независимо от того, в каком порядке вы их перемножаете, результат будет одинаковым. В этой задаче мы увидели, что функция p(b) и p(1/b) после подстановки и небольших преобразований оказываются одинаковыми, поэтому при делении друг на друга они дают 1.