Сколько сторон имеет многоугольник, если в нём можно провести 27 диагоналей?

\[Формула\ для\ вычисления\ \]

\[количества\ диагоналей\ \]

\[n - угольника:\]

\[N = \frac{n(n - 3)}{2};N - количество\ \]

\[диагоналей,\ n - количество\ \]

\[вершин\]

\[(равное\ количеству\ сторон).\]

\[Составим\ уравнение:\ \]

\[\frac{n(n - 3)}{2} = 27\]

\[n(n - 3) = 54\]

\[n^{2} - 3n - 54 = 0\]

\[D = ( - 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 54) =\]

\[= 9 + 216 = 225\]

\[n_{1} = \frac{3 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 15}{2} =\]

\[= \frac{18}{2} = 9\ (сторон) - имеет\ \]

\[многоугольник.\]

\[n_{2} = \frac{3 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 15}{2} =\]

\[= - \frac{12}{2} = - 6\ (не\ подходит).\]

\[Ответ:9\ сторон.\]