Решите уравнение $$9x^2 + 24x + 16 = (x+2)^2$$. Предоставьте подробное пошаговое решение с объяснением.

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы решим уравнение $$9x^2 + 24x + 16 = (x+2)^2$$. **Шаг 1: Упростим обе части уравнения.** Заметим, что левая часть уравнения является полным квадратом: $$9x^2 + 24x + 16 = (3x)^2 + 2 cdot 3x cdot 4 + 4^2 = (3x+4)^2$$. Правая часть уравнения представляет собой квадрат суммы, который мы можем раскрыть по формуле $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$, то есть $$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$$. Таким образом, уравнение примет вид: $$(3x+4)^2 = x^2 + 4x + 4$$ **Шаг 2: Перенесем все слагаемые в левую часть.** $$(3x+4)^2 - (x^2 + 4x + 4) = 0$$ **Шаг 3: Раскроем скобки и упростим выражение.** $$(9x^2 + 24x + 16) - (x^2 + 4x + 4) = 0$$ $$9x^2 + 24x + 16 - x^2 - 4x - 4 = 0$$ $$8x^2 + 20x + 12 = 0$$ **Шаг 4: Упростим уравнение, разделив обе части на 4.** $$rac{8x^2 + 20x + 12}{4} = rac{0}{4}$$ $$2x^2 + 5x + 3 = 0$$ **Шаг 5: Решим квадратное уравнение.** Теперь у нас есть квадратное уравнение вида $$ax^2 + bx + c = 0$$, где $$a = 2$$, $$b = 5$$, $$c = 3$$. Для решения используем дискриминант $$D = b^2 - 4ac$$. $$D = 5^2 - 4 cdot 2 cdot 3 = 25 - 24 = 1$$ Так как $$D > 0$$, у нас два различных корня, которые находятся по формуле $$x = rac{-b pm sqrt{D}}{2a}$$. $$x_1 = rac{-5 + sqrt{1}}{2 cdot 2} = rac{-5 + 1}{4} = rac{-4}{4} = -1$$ $$x_2 = rac{-5 - sqrt{1}}{2 cdot 2} = rac{-5 - 1}{4} = rac{-6}{4} = -rac{3}{2} = -1.5$$ **Шаг 6: Запишем ответ.** Итак, уравнение имеет два корня: $$x_1 = -1$$ и $$x_2 = -1.5$$ **Ответ:** $$x = -1; -1.5$$