Решите уравнение: \(\frac{3y-2}{y} - \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y^2-2y}\)

Сначала заметим, что \(y^2 - 2y = y(y-2)\). Тогда уравнение можно переписать в виде:

\(\frac{3y-2}{y} - \frac{1}{y-2} = \frac{3y+4}{y(y-2)}\)

Приведем к общему знаменателю \(y(y-2)\):

\(\frac{(3y-2)(y-2) - y}{y(y-2)} = \frac{3y+4}{y(y-2)}\)

\(\frac{3y^2 - 6y - 2y + 4 - y}{y(y-2)} = \frac{3y+4}{y(y-2)}\)

\(\frac{3y^2 - 9y + 4}{y(y-2)} = \frac{3y+4}{y(y-2)}\)

Умножим обе части уравнения на \(y(y-2)\). Важно помнить, что \(y \neq 0\) и \(y \neq 2\).

\(3y^2 - 9y + 4 = 3y + 4\)

\(3y^2 - 12y = 0\)

\(3y(y - 4) = 0\)

Тогда либо \(3y = 0\), либо \(y - 4 = 0\).

Из \(3y = 0\) получаем \(y = 0\), но это значение недопустимо, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Из \(y - 4 = 0\) получаем \(y = 4\).

Проверим, что \(y = 4\) не обращает знаменатель в нуль. Так как \(y \neq 0\) и \(y \neq 2\), то \(y = 4\) является решением уравнения.

Ответ: \(y = 4\)