Решите данное равенство

Давайте решим выражение:

Дано:
\[ \frac{n! + (n+1)!}{(n-1)! + n!} = \frac{48}{7} \]

Рассмотрим числитель:
\[ n! + (n+1)! = n! + (n+1) \cdot n! = n!(1 + (n+1)) = n!(n+2). \]

Рассмотрим знаменатель:
\[ (n-1)! + n! = (n-1)! + n \cdot (n-1)! = (n-1)!(1 + n). \]

Таким образом, выражение преобразуется в:
\[ \frac{n!(n+2)}{(n-1)!(n+1)}. \]

Упростим дробь:
\[ \frac{n!(n+2)}{(n-1)!(n+1)} = \frac{n \cdot (n-1)! \cdot (n+2)}{(n-1)!(n+1)} = \frac{n(n+2)}{n+1}. \]

Приравниваем к \( \frac{48}{7} \):
\[ \frac{n(n+2)}{n+1} = \frac{48}{7}. \]

Перемножаем крест-накрест:
\[ 7n(n+2) = 48(n+1). \]

Раскрываем скобки:
\[ 7n^2 + 14n = 48n + 48. \]

Приводим подобные члены:
\[ 7n^2 - 34n - 48 = 0. \]

Решаем квадратное уравнение:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 7, b = -34, c = -48 \).
\[ n = \frac{-(-34) \pm \sqrt{(-34)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-48)}}{2 \cdot 7} = \frac{34 \pm \sqrt{1156 + 1344}}{14} = \frac{34 \pm 50}{14}. \]

Получаем два корня:
\[ n = \frac{34 + 50}{14} = 6, \]
\[ n = \frac{34 - 50}{14} = -\frac{16}{14} = -\frac{8}{7}. \]

Так как \( n \) — натуральное число, то \( n = 6 \).

Ответ: \( n = 6 \).