Произведение двух последовательных натуральных чисел на 111 меньше суммы квадратов этих чисел. Найдите эти числа.

\[Пусть\ a;\ \ a + 1 - последовательные\]

\[натуральные\ числа.\]

\[Составим\ уравнение:\]

\[a(a + 1) + 111 = a^{2} + (a + 1)^{2}\]

\[a^{2} + a + 111 = a^{2} + a^{2} + 2a + 1\]

\[a^{2} + a - 110 = 0\]

\[D = 1 + 440 = 441 = 21^{2}\]

\[a_{1} = \frac{- 1 + 21}{2} = 10;\ \ \]

\[a_{2} = \frac{- 1 - 21}{2} = - 11\ (не\ натуральное)\text{.\ \ \ \ }\]

\[a = 10 - первое\ число.\text{\ \ \ \ }\]

\[a + 1 = 10 + 1 = 11 - второе\ число.\]

\[Ответ:10\ и\ 11.\]