\[b_{1} = 1;b_{2} = 2;b_{3} = 4;\ldots\]
\[q = \frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{2}{1} = 2;\]
\[S_{n} = \frac{b_{1}\left( q^{n} - 1 \right)}{q - 1} = \frac{1 \cdot \left( 2^{n} - 1 \right)}{2 - 1} =\]
\[= 2^{n} - 1;\]
\[2^{n} - 1 \geq 100\ 000\]
\[2^{n} \geq 100\ 001.\]
\[2^{10} = 1024;\ 2^{7} = 128;\]
\[2^{17} = 1024 \cdot 128 = 131\ 172 > 100\ 001.\]
\[Через\ 17\ минут\ Петя\ перейдет\ \]
\[на\ следующий\ уровень.\]
\[Ответ:через\ 17\ минут.\]