Найдите значение числового выражения:

Решение:

Для решения данного выражения необходимо применить свойства степеней и корней. Выражение выглядит следующим образом:

\[ \sqrt[6]{3^7 \cdot 4^5} \cdot \sqrt[6]{3^5 \cdot 4} \]

При умножении корней с одинаковыми показателями степени, показатели подкоренных выражений перемножаются:

\[ \sqrt[6]{(3^7 \cdot 4^5) \cdot (3^5 \cdot 4)} \]

Сгруппируем основания:

\[ \sqrt[6]{3^{7+5} \cdot 4^{5+1}} \]

Выполним сложение степеней:

\[ \sqrt[6]{3^{12} \cdot 4^6} \]

Теперь извлечем корень. Показатель степени подкоренного выражения делится на показатель корня:

\[ 3^{\frac{12}{6}} \cdot 4^{\frac{6}{6}} \]

Упростим степени:

\[ 3^2 \cdot 4^1 \]

Вычислим результат:

\[ 9 \cdot 4 = 36 \]

Ответ: 36