Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 8, которые больше 50 и меньше 180.

Решение:

1. Найдем первое натуральное число, кратное 8, которое больше 50. Это \( 8 \cdot 7 = 56 \).
2. Найдем последнее натуральное число, кратное 8, которое меньше 180. \( 180 / 8 = 22,5 \). Значит, последнее число \( 8 \cdot 22 = 176 \).
3. Последовательность чисел: 56, 64, ..., 176. Это арифметическая прогрессия с первым членом \( a_1 = 56 \) и разностью \( d = 8 \).
4. Найдем количество членов этой прогрессии по формуле \( a_n = a_1 + (n-1)d \): \( 176 = 56 + (n-1)8 \) \( 176 - 56 = (n-1)8 \) \( 120 = (n-1)8 \) \( n-1 = \frac{120}{8} \) \( n-1 = 15 \) \( n = 16 \).
5. Найдем сумму этих чисел по формуле \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \): \( S_{16} = \frac{56 + 176}{2} \cdot 16 = \frac{232}{2} \cdot 16 = 116 \cdot 16 \).
6. Вычислим произведение: \( 116 \cdot 16 = 1856 \).

Ответ: 1856.