250. Найдите косинусы углов треугольника \(ABC\), если \(A(-3; 2), B(5; 3), C(-4; -3)\). Определите вид треугольника.

**Решение:**

**1. Найдем длины сторон треугольника:**

\(|AB| = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{8^2 + 1^2} = \sqrt{64 + 1} = \sqrt{65}\)
\(|BC| = \sqrt{(-4 - 5)^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{(-9)^2 + (-6)^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}\)
\(|AC| = \sqrt{(-4 - (-3))^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}\)

**2. Найдем косинусы углов треугольника по теореме косинусов:**

\(\cos(\angle A) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{65 + 26 - 117}{2 \cdot \sqrt{65} \cdot \sqrt{26}} = \frac{-26}{2 \cdot \sqrt{65 \cdot 26}} = \frac{-13}{\sqrt{1690}} = \frac{-13}{\sqrt{169 \cdot 10}} = \frac{-13}{13\sqrt{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}\)

\(\cos(\angle B) = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{65 + 117 - 26}{2 \cdot \sqrt{65} \cdot \sqrt{117}} = \frac{156}{2 \cdot \sqrt{65 \cdot 117}} = \frac{78}{\sqrt{7605}} = \frac{78}{3\sqrt{845}} = \frac{26}{\sqrt{845}} = \frac{26}{\sqrt{169 \cdot 5}} = \frac{26}{13\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}\)

\(\cos(\angle C) = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{26 + 117 - 65}{2 \cdot \sqrt{26} \cdot \sqrt{117}} = \frac{78}{2 \cdot \sqrt{26 \cdot 117}} = \frac{39}{\sqrt{3042}} = \frac{39}{3\sqrt{338}} = \frac{13}{\sqrt{338}} = \frac{13}{\sqrt{169 \cdot 2}} = \frac{13}{13\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

**3. Определим вид треугольника:**

Так как \(\cos(\angle A) < 0\), то угол \(A\) - тупой. Следовательно, треугольник \(ABC\) - тупоугольный.

**Ответы:**

\(\cos(\angle A) = -\frac{1}{\sqrt{10}}\)
\(\cos(\angle B) = \frac{2}{\sqrt{5}}\)
\(\cos(\angle C) = \frac{1}{\sqrt{2}}\)

Треугольник \(ABC\) - тупоугольный.