Из двух городов, расстояние между которыми равно 240 км, отправились навстречу друг другу два автомобиля и встретились на середине пути, причём один из них выехал на 1 ч позже другого. Если бы автомобили выехали одновременно, то они встретились бы через 2 ч 24 мин. Найдите скорость каждого автомобиля.

Ответ:

\[Пусть\ x\ \frac{км}{ч} - собственная\ \]

\[скорость\ катера,\ \]

\[\text{y\ }\frac{км}{ч} - скорость\ течения.\]

\[(x + y)\ \frac{км}{ч} - скорость\ \]

\[катера\ по\ течению,\]

\[\ (x - y)\ \frac{км}{ч} - скорость\ \]

\[катера\ против\ течения.\]

\[Составим\ систему\ уравнений:\]

\[\left\{ \begin{matrix} \frac{60}{x - y} + \frac{54}{x} = 4,5 \\ \frac{162}{x} - \frac{72}{x - y} = 3\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Пусть\ \ \frac{1}{x} = t;\ \ \frac{1}{x - y} = c:\]

\[\left\{ \begin{matrix} 60x + 54t = 4,5\ \ \ |\ :3 \\ 162t - 72c = 3\ \ \ \ \ |\ :3 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} 20c + 18t = 1,5\ \ \ | \cdot 6 \\ 54t - 24c = 1\ \ \ \ \ \ \ | \cdot 2 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} 120c + 108t = 9\ \\ 48c - 108t = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \ ( + )\]

\[\left\{ \begin{matrix} 168c = 7\ \ \ \ \ \ \\ t = \frac{3 + 72c}{162} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} c = \frac{1}{27} \\ t = \frac{1}{24} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{x} = \frac{1}{27}\text{\ \ \ \ \ \ \ } \\ \frac{1}{x - y} = \frac{1}{24} \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 27\ \ \ \ \ \ \ \ \\ x - y = 24 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 27 \\ y = 3\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[27\ \frac{км}{ч} - собственная\ \]

\[скорость\ катера.\]

\[3\ \frac{км}{ч} - скорость\ течения\ \]

\[реки.\]

\[Ответ:27\ \frac{км}{ч}\ и\ 3\ \frac{км}{ч}.\]