Докажите, что уравнение (x + 3)(x + 4)(x + 5) = 31 не имеет целых корней.

\[(x + 3)(x + 4)(x + 5) = 31\]

\[Пусть\ x - целый\ корень.\ \]

\[Тогда\ числа\ x\ + \ 3,\ x\ + \ 4,\ x + \ 5\ –\ целые\ \]

\[и\ последовательные.\ \]

\[Среди\ трех\ последовательных\ целых\ \]

\[чисел\ обязательно\ одно\ делится\ на\ 2\ и\ \]

\[одно\ - \ на\ 3\ (например,\ числа\ 7,\ 8,\ 9),\ \]

\[поэтому\ произведение\ таких\ чисел\ без\ \]

\[остатка\ делится\ на\ 2\ \cdot \ 3\ = \ 6.\ \]

\[Следовательно,\ левая\ часть\ уравнения\ \]

\[кратна\ 6.\ В\ правой\ части\ уравнения\ \]

\[стоит\ число\ 31,\ которое\ делится\ на\ 6\ с\ \]

\[остатком\ 1.\ Получаем\ противоречие.\ \]

\[Поэтому\ данное\ уравнение\ не\ может\ \]

\[иметь\ целых\ корней.\]