\[a^{2};\ \ b^{2};\ \ c^{2} - арифеметическая\ \]
\[прогрессия.\]
\[d = b^{2} - a^{2};\ \ \ d = c^{2} - b^{2}:\]
\[b^{2} = \frac{a^{2} + c^{2}}{2}.\]
\[\frac{1}{a + c} = \left( \frac{1}{b + c} + \frac{1}{a + b} \right)\ :2\]
\[\frac{1}{a + c} = \frac{a + b + b + c}{(a + b)(b + c) \cdot 2}\]
\[\frac{1}{a + c} = \frac{a + 2b + c}{2 \cdot (a + b)(b + c)}\]
\[(a + c)(a + 2b + c) =\]
\[= 2 \cdot (a + b)(b + c)\]
\[Докажем:\]
\[a^{2} + ac + 2ab + 2bc + ac + c^{2} =\]
\[= 2 \cdot \left( ab + b^{2} + ac + bc \right)\]
\[a^{2} + 2ac + 2ab + 2bc + c^{2} =\]
\[= 2ab + 2b^{2} + 2ac + 2bc\]
\[b^{2} = \frac{a^{2} + c^{2}}{2}.\]
\[То\ есть\ получили,\ что:\]
\[b^{2} = \frac{a^{2} + c^{2}}{2}\ и\ \frac{1}{a + c} =\]
\[= \frac{a^{2} + c^{2}}{2} - равносильны.\]
\[Значит,\ числа\ \frac{1}{b + c};\frac{1}{a + c};\]
\[\frac{1}{a + b} - являются\ \]
\[арифметической\ прогрессией.\]
\[Что\ и\ требовалось\ доказать.\]