Докажите, что для любого a справедливо неравенство -1<=(корень из 2)/2 sina+ (корень из 2)/2 cosa<=1.

\[- 1 \leq \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha \leq 1\]

\[\frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha =\]

\[= \cos\frac{\pi}{4}\sin\alpha + \sin\frac{\pi}{4}\cos\alpha =\]

\[= \sin\left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right)\]

\[- 1 \leq \sin\left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) \leq 1 \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow - 1 \leq \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha \leq 1.\]