15. Дана функция $$f(x) = x^2 - 6|x| + 8$$. 1) Постройте график функции $$y = f(x)$$. 2) При каких значениях $$m$$ уравнение $$f(x) = m$$ имеет ровно два решения?

1) Для построения графика функции $$f(x) = x^2 - 6|x| + 8$$, рассмотрим два случая: а) Если $$x \geq 0$$, то $$|x| = x$$, и функция принимает вид $$f(x) = x^2 - 6x + 8$$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы: $$x_в = \frac{-(-6)}{2(1)} = 3$$. Значение функции в вершине: $$f(3) = 3^2 - 6(3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$$. Точки пересечения с осью Ox: $$x^2 - 6x + 8 = 0$$. Дискриминант $$D = (-6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4$$. Корни: $$x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4$$ и $$x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2$$. Точка пересечения с осью Oy: $$f(0) = 0^2 - 6(0) + 8 = 8$$. б) Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$, и функция принимает вид $$f(x) = x^2 + 6x + 8$$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы: $$x_в = \frac{-6}{2(1)} = -3$$. Значение функции в вершине: $$f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$$. Точки пересечения с осью Ox: $$x^2 + 6x + 8 = 0$$. Дискриминант $$D = (6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4$$. Корни: $$x_1 = \frac{-6 + 2}{2} = -2$$ и $$x_2 = \frac{-6 - 2}{2} = -4$$. Точка пересечения с осью Oy: $$f(0) = 0^2 + 6(0) + 8 = 8$$. Таким образом, график функции $$y = f(x)$$ представляет собой объединение двух парабол, симметричных относительно оси Oy. 2) Уравнение $$f(x) = m$$ имеет ровно два решения, когда горизонтальная прямая $$y = m$$ пересекает график функции $$y = f(x)$$ в двух точках. Из графика видно, что это происходит, когда $$m < -1$$ или $$m = 8$$. **Ответ: $$m < -1$$ или $$m = 8$$**. ```html ```