5. Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причем AB = 3, AC = 12. Найдите AK.

Решение этой задачи основано на свойстве секущей и касательной, проведённых из одной точки вне окружности. Пусть точка A лежит вне окружности, прямая AK касается окружности в точке K, а прямая ABC пересекает окружность в точках B и C. Дано: AB = 3, AC = 12. Тогда BC = AC - AB = 12 - 3 = 9. По теореме о секущей и касательной: квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на её внешнюю часть: AK² = AB * AC. Подставляя значения, получаем: AK² = 3 * 12 = 36. AK = √36 = 6. Ответ: AK = 6.