№1. Дан параллелограмм ABCD, биссектриса угла A пересекает его сторону CD в точке P. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если CP=3 и PD=7, \(\angle ADC = 150^{\circ}\). №2. Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Задача №1 Дано: Параллелограмм ABCD, AP - биссектриса угла A, CP = 3, PD = 7, \(\angle ADC = 150^{\circ}\). Найти: Площадь ABCD. Решение: 1. Найдем сторону CD: CD = CP + PD = 3 + 7 = 10. 2. Так как ABCD - параллелограмм, то AB = CD = 10. 3. Угол BAD = 180° - 150° = 30° (т.к. углы ADC и BAD - внутренние односторонние углы при параллельных прямых AD и BC и секущей CD). 4. Т.к. AP - биссектриса угла BAD, то угол BAP = углу PAD = 30°/2 = 15°. 5. Рассмотрим треугольник APD. Угол APD = 180° - (угол PAD + угол ADP) = 180° - (15° + 150°) = 180° - 165° = 15°. 6. Таким образом, угол APD = углу PAD = 15°, следовательно, треугольник APD - равнобедренный, и AD = PD = 7. 7. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, опущенную на эту сторону. Проведем высоту BH к стороне AD. Тогда площадь ABCD равна AD * BH. 8. В прямоугольном треугольнике ABH синус угла BAH равен отношению противолежащего катета (BH) к гипотенузе (AB). Т.е., sin(30°) = BH / AB. 9. sin(30°) = 1/2. Следовательно, BH = AB * sin(30°) = 10 * (1/2) = 5. 10. Площадь ABCD = AD * BH = 7 * 5 = 35. Ответ: Площадь параллелограмма ABCD равна 35. Задача №2 Дано: Прямоугольный треугольник с катетами a = 35, b = 120. Найти: Высоту h, проведенную к гипотенузе. Решение: 1. Найдем гипотенузу c по теореме Пифагора: \(c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{35^2 + 120^2} = \sqrt{1225 + 14400} = \sqrt{15625} = 125\). 2. Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами: S = (1/2) * a * b или S = (1/2) * c * h. 3. Приравняем эти выражения: (1/2) * a * b = (1/2) * c * h. 4. Отсюда выразим высоту h: h = (a * b) / c = (35 * 120) / 125 = 4200 / 125 = 33.6. Ответ: Высота, проведенная к гипотенузе, равна 33.6.