Теорема Пифагора - её применение и доказательство
Одна из древнейших теорем, формула которой изучается еще в школе, а затем активно используется в различных отраслях деятельности: строительстве, навигации, архитектуре, геодезии – это теорема Пифагора. Чтобы легко запомнить ее и никогда не забывать, стоит разобрать ее простыми словами и отработать, решив простой пример с ее помощью. Для закрепления – отработать на практике еще несколько аналогичных примеров и рассмотреть необычные ситуации, когда определение в составе задачи возможности использования этой теоремы существенно упрощает ее решение.
Школьный период, в котором изучается теорема Пифагора 8 класс, именно тогда ученики знакомятся с существующими взаимосвязями между сторонами в прямоугольном треугольнике. А первым, кто заинтересовался этим в истории человечества и вывел формулу, актуальную и в современности, стал древнегреческий ученый и математик Пифагор. Он создал множество научных открытий, в том числе и из области математики. Пифагор жил и познавал науку еще до нашей эры, в первом веке. В математической сфере он был приверженцем теории наглядности, и для своих учеников создал множество учений, позволяющих разобраться в сложнейших явлениях и вопросах. В частности, среди его трудов учения о:
- построении прямолинейных фигур;
- построении правильных многоугольников;
- подобии геометрических фигур;
- о четных и нечетных числах и другие.
Тем не менее, есть мнение, что сама теорема Пифагора была известна человечеству задолго до рождения ученого. Например, по одной из версий ее уже знали древние египтяне. По крайней мере, ими использовалась на практике теорема Пифагора пример которой разбирал прямоугольный треугольник со сторонами в 5, 4 и 3, и они успешно делали расчеты неизвестной стороны и других элементов, параметров в процессах межевания, построения зданий и пр.
Однако именно Пифагор доказал и сформулировал эти свойства прямоугольных треугольников, а один из его учеников пояснил эти правила для людей-практиков. И знания стали широко использоваться повсеместно, упрощая расчеты и труд.
Как звучит теорема Пифагора и её формулы
Суть этой теоремы заключается в следующем: каждый треугольник имеет в своем составе три стороны. В прямоугольном они носят специальные названия. Те стороны, которые прилегают непосредственно к самому прямому углу, называются катетами. А напротив этого угла лежит гипотенуза. Даже невооруженным глазом, человеку, далекому от математики, будет видно, что катеты всегда меньше по величине, чем гипотенуза. Но важно знать – насколько именно меньше? Как установить и рассчитать это соотношение? Это и определяет текст теоремы Пифагора. Он гласит, что если каждый из катетов возвести в квадрат, а затем сложить полученные числа, то получится сумма, равная квадрату длины гипотенузы.
Традиционно в формульном варианте это записывается так: c2 = a2 + b2, где с – буква, обозначающая длину гипотенузы прямоугольного треугольника, b и a, соответственно, символы, обозначающие длину его катетов.
Из этой общей формулы можно вывести несколько, позволяющих рассчитать и другие значения. Например, чтобы найти длину одного из катетов, необходимо вычислить квадратный корень из разности квадрата гипотенузы и другого катета. А для вычисления непосредственно длины самой гипотенузы нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов катетов исследуемого прямоугольного треугольника. При всей простоте задачи, ее решение актуально и популярно и в наши дни и широко используется в разнообразных сферах хозяйственной деятельности человека.
Теорема Пифагора доказательство и его разновидности
Школьное время, когда на уроках изучается теорема Пифагора доказательство 8 класс, где на уроках геометрии школьники изучают сразу два способа доказать соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. На самом деле, способов доказательств больше трех сотен. Однако в большинстве случаев математики теоретики и практики пользуются тремя наиболее известными и распространенными:
- Геометрическое с квадратами. Для его применения на гипотенузе строится квадрат со стороной с, внутри которого размещаются четыре одинаковых треугольника, у каждого из которых катеты будут иметь длины a и b. Соответственно, эти треугольники будут образовывать внутренний квадрат со стороной (b – a). Рассчитав площади квадратов, можно записать их равенство: c² = 4 × ½ab + (b – a)². После раскрытия скобок и приведения подобных получается исходная теорема Пифагора: c2 = a2 + b2.
- Алгебраическое, для выполнения которого прямоугольный треугольник помещают в Декартову систему координат с координатой прямоугольной вершины (0;0). Затем длина гипотенузы рассчитывается по формуле расстояния между точками и получается равной c2 = a2 + b2.
- С помощью подобия треугольников по теореме о свойствах подобных треугольников.
К теореме Пифагора существует обратная теорема, доказывающая, что треугольник прямоугольный.