Как решить линейное уравнение: стандартное, с двумя переменными, с дробями
Решение уравнений — один из основных типов заданий, которые вводятся в математическую школьную программу, начиная с младшей школы. По мере перехода из класса в класс задача, как решать линейные уравнения, постоянно усложняется, и требует понимания новых подходов и применения новых технологий для ее выполнения. В любом случае формула такого уравнения представляет собой запись, в которой все переменные находятся в первой степени. Она исключает корни или произведения переменных. Усложнения же формулы заключаются в наличии неизвестных с двумя переменными или с дробями и иные частные случаи. Вне зависимости от того, будет ли это уравнение с одной или с двумя неизвестными, решение его будет заключаться в нахождение значения этого/этих неизвестных, при которых само выражение обращается в верное равенство.
Линейные уравнения как решать, понятия, терминология, правила
Перед тем, как определиться с методикой как решать линейные уравнения, следует разобраться с тем, что они собой представляют и какими бывают.
Основные термины, которые используются для этой математической величины:
- само уравнение. Это равенство с неизвестной одной или несколькими величинами;
- корень — это число, которое следует найти в ходе решения, и которое при подстановке на место неизвестного в уравнение превращает его в равенство (левую и правую часть выражения);
- решить уравнение, таким образом — это значит вычислить все его корни. Либо доказать, что их нет;
- равносильные уравнения — это такие выражения, у которых одни и те же корни, то есть, у которых совпадает множество решений.
В целом линейное уравнение имеет общий вид: ах + b = 0. Здесь х является неизвестным, которое нужно найти, а а и b — любые действительные числа. При этом, если а не равно нулю, то корень у такого линейного уравнения будет один, если равно, то корней уравнение иметь не будет. А если нулю будут равны оба коэффициента а и b, то корнем может быть любое число.
Порядок решения подчиняется следующим правилам:
- Переноса. В этом случае значения из одной части выражения перемещаются в другую с противоположным знаком. Затем можно выполнить математические действия по правилам вычислений и найти корни.
- Деления. Обе части выражения можно разделить на одно и то же число. Это ускоряет и упрощает процедуру решения. Такой способ особенно актуален, если нужно понять, как решать линейные уравнения с дробями — с помощью этой математической манипуляции обе части выражения можно очистить от знаменателей и решать в дальнейшем упрощенное выражение. То есть сократив дроби в задании.
- Группировки. Если уравнение состоит из нескольких выражений, то вначале нужно раскрыть скобки, затем сгруппировать полученные члены, содержащие переменную, в одну часть уравнения, а не содержащие (числовые) — в другую. После этого приводятся подобные и уравнение приобретает упрощенный классический вид.
В старших классах математическое задание усложняется, и необходимо учиться решать системы уравнений или выражения, в которых содержится несколько неизвестных.
Как решить задачу с двумя неизвестными: способы составления и решения уравнений
На практике, чтобы понять и изучить как решить линейное уравнение с двумя переменными в качестве отдельного самостоятельного задания или при составлении такого выражения в ходе решения текстовой задачи, следует выбрать один из перечисленных ниже способов.
Метод подстановки. Для этого одну из неизвестных нужно выразить через другую, составив соответствующее выражение. В результате в промежуточном задании необходимо будет найти только одну неизвестную. Когда она будет найдена, то подставив ее в первоначально составленное выражение, можно будет найти и вторую переменную.
Методика сложения. При ее применении первоначально потребуется уравнять при одном неизвестном модули коэффициентов. А потом решить задачу системой, вычтя либо сложив два полученных в ходе преобразования уравнения. Получится объединенное выражение с одной переменной. После ее нахождения можно вычислить второе неизвестное системы.
Метод введения новых переменных поможет упростить особо сложные выражения. Как правило, он актуален для сложных дробных выражений, позволяет не запутаться в процессе решения задачи.
Графическая методика подойдет в том случае, когда первоначальное линейное выражение имеет слишком сложный вид. И любые последующие преобразования не приводят к его упрощению, не позволяют решить его математически при имеющемся у школьника уровне знаний. Построение координатной плоскости и нахождение точек соприкосновения позволят отыскать обе неизвестные.