Как решать логарифмические уравнения разных типов

В средней и старшей школе, в том числе, в рамках подготовки к обязательному итоговому математическому испытанию, подростки активно осваивают непростые, но важные понятия этой науки. Одним из них является логарифм и проводимые с его помощью исчисления. На первый взгляд людям, далеким от математики, или тем, кто уже забыл ее школьный курс, этот термин покажется сложным и пугающим. Но достаточно вникнуть и разобраться, как правильно вычислять его и проводить действия с ним, и окажется, что все не так трудно.

Тот, кто научится грамотно оперировать этими терминами, сможет без проблем решить и логарифмическое уравнение, не только простое, но и сложное.

Логарифмы, их основные свойства, логарифмические уравнения

Логарифм как математическая величина, математическое явление — это математическое выражение, представляющее особой особую, специальную запись степени числа. По определению, логарифмом числа b по основанию а считается математическое выражение, которое будет эквивалентно такому показателю степени, в которую, чтобы получить число b следует возвести а.

Таким образом, те, кто разобрался с определением и свойствами степеней как математических величин без проблем смогут решать задания, включающие в себя логарифмическую составляющую. При выполнении действий с логарифмами важно разобраться с таким понятием, как область допустимых значений (ОДЗ) для этого математического явления. Особенно актуально оно в тех случаях, когда решаются логарифмические уравнения и неравенства. Практикуясь в применении логарифмических свойств, можно будет довести порядок вычислений и расчетов до автоматизма. Как результат — возможность оперативно преобразовывать содержащие логарифм выражения, что позволит свести решения к наиболее быстрому и простому способу.

Изучая и прорабатывая логарифмические тождества, школьники учатся глубоко понимать дисциплину, оттачивают свои математические навыки, обретают понимание, каким образом они могут быть ими применены на практике.

После того, как понятие и свойства логарифмов будут хорошо закреплены, надо переходить к отработке решений логарифмических уравнений. По своей математической сути они представляют такие уравнения, где переменная может находиться либо в основании логарифмов, либо в их аргументе.

Как решать логарифмические уравнения, их принципы и типы

Перед тем, как разобраться, как решить логарифмическое уравнение, нужно определиться с категорией, к которой оно будет отнесено. Всего выделяют три основные категории:

1. Простейшие. Это такие логарифмические уравнения, в которых сам логарифм равен тому или иному числу.
2. Второй тип — к нему относятся равенства логарифмов с едиными основаниями.
3. Логарифмические уравнения сложного типа. Здесь для решения нужно будет произвести те или иные преобразования, которые позволят свести данный тип выражений к уравнениям первого или второго типа и затем без проблем их решить.

Вне зависимости от того, к какому типу будет отнесено логарифмическое уравнение, для его решения выполняется заданная последовательность действий, так называемый алгоритм. Он заключается в проведении следующих операций:

• анализ области допустимых значений (ОДЗ) по заданию;
• приведения логарифмического уравнения к простому виду при помощи специальных преобразований, если это требуется по условию задания;
• непосредственно решение уравнения, нахождение его корней и последующий анализ их соответствия ОДЗ.

Так, при решении простейших логарифмических уравнений проверяются ОДЗ и затем, пользуясь определением логарифма, переписывают его через степени числа. Для решения уравнений второго типа тоже придерживаются этой схемы. То есть, оценивается ОДЗ (здесь достаточно будет проверить ОДЗ только одной из функций), откидывая логарифм, приравниваются его части. И затем — обычным способом решается уравнение, проверяя найденные корни на соответствие ОДЗ.

Для решения сложных логарифмических уравнений принято применять методы для упрощения таких выражений. К ним относятся, в частности, метод подстановки, логарифмирования, приведения к одному основанию, сворачивания выражения в один логарифм, применение основного логарифмического тождества и т. д.

Для того, чтобы в дальнейшем быстро и эффективно решать такие задания, необходима регулярная и системная математическая тренировка. Чем больше логарифмических уравнений будет решено учащимся, тем тверже будет багаж знаний, математическая база. Впоследствии он обязательно пригодится, в том числе для решения задач множества типов, не только из области математики, но и из физики, химии и др.