Как решать иррациональные уравнения различных типов

В старших классах школы изучаются наиболее сложные разделы и задания из курса математики. Многие из них впоследствии включаются в качестве экзаменационных вопросов на обязательном математическом ЕГЭ для выпускников. В числе таких тем и задач — иррациональные уравнения, научившись решать которые многие школьники станут лучше понимать суть и необходимость исследования области допустимых значений в математике, а также поймут действия с радикалами.

Чтобы правильно находить корни таких уравнений, нужно усвоить, что установка ОДЗ для переменных здесь исходит из условия, что все радикалы, включенные в уравнение, должны быть арифметическими. Тот, кто научится понимать и применять это, достаточно быстро сможет решить даже самые сложные типы иррациональных уравнений. А регулярная практика позволит отработать и закрепить этот полезный не только в школе, но и после ее окончания, навык.

 Как решать иррациональные уравнения различных типов

К иррациональным уравнениям (выражениям) относятся такие, в составе которых содержится знак корня или степени, выраженные дробью. Для решения таких заданий необходимо выполнить ряд действий по их преобразованию, упрощению. Для этого следует хорошо усвоить и знать:

• свойства корней. Например, что для любого числа справедливо равенство корня квадратного из квадрата этого числа модулю такого числа;
• область допустимых значений (ОДЗ) для корней четной степени принимается равной или большей чем ноль;
• любой корень в степени n числа в степени m можно представить в качестве дробной степени, в числителе которой — число m, в знаменателе такой дроби — n.

Также, планируя как решить иррациональное уравнение, нужно руководствоваться его классическим определением, которое гласит, что это такое уравнение, которое включает в себя иррациональные выражения с одной неизвестной. В таком уравнении неизвестное Х будет стоять под знаком корня.

Поняв и усвоив базовые понятия и принципы таких выражений и правила их решения, можно переходить к освоению различных типов данных уравнений. Они существенно различаются по сути, сложности и особенностям решения. Тем не менее, у них есть и много общего в алгоритме и схеме выполнения. Например то, что после получения возможных корней надо проверять их актуальность и действительность относительно ОДЗ выражения.

Иррациональные уравнения как решать различные типы заданий

Всего выделяют несколько типов, различающихся сложностью и порядком применяемых в ходе вычисления результата действий. Наиболее популярными, разбираемыми в рамках школьной программы, являются:

1. Первый тип или простейшее иррациональное уравнение. Здесь под корнем находится выражение с переменной, которую нужно найти — это левая часть равенства. В правой находится любое число. В первую очередь нужно обратить внимание на четность корня степени. Затем, с учетом этой информации, оценивается ОДЗ. После — ведется анализ уравнения. Либо уравнение не будет иметь корней, либо обе части уравнения можно будет возвести в степень корня и продолжать его решать.
2. Второй тип с переменной Х. Здесь выражение под квадратным корнем будет равно выражению без корня. Здесь тоже ищется ОДЗ, оценивается подкоренное выражение, обе части возводятся в квадрат и продолжается выполнение решения. После получения корней оценивается, входят ли они в промежуток ОДЗ.
3. К третьему типу с переменной Х относятся иррациональные выражения, в которых обе части имеют квадратный корень. При некоторых различиях с уравнениями второго типа алгоритм выполнения таких заданий будет аналогичен предыдущему.
4. Четвертый тип подразумевает усложнение левой части уравнений сложением подкоренных выражений с неизвестной переменной Х, правая часть будет равна тому или иному числу. На первый взгляд это задание может показаться сложным, но техника его выполнения понятна и проста. В первую очередь надо оценить ОДЗ обоих подкоренных выражений, объединив их в систему. Затем возвести в квадрат и преобразовать, сводя к уравнениям второго типа. Далее, следуя логике выполнения таких заданий, решить, найти корни и сопоставить их с ограничениями, которые накладывает ОДЗ.

Уравнение с радикалами — достаточно сложный тип выражений. Для его решения также определяется ОДЗ, выделяется фигурирующая в уравнении функция, доказывается ее монотонность в ОДЗ. После можно угадать ее корень и обосновать, что других корней выражение иметь не может. Освоив эти методики, можно переходить к другим, например, к способу замены переменной при решении уравнений. Каждый выбирает для себя удобный тип решения в том или ином случае.