ГДЗ по алгебре 11 класс Никольский Параграф 5. Применение производной Задание 114

\[\boxed{\mathbf{114}\mathbf{.}}\]

\[\textbf{а)}\ y = x^{3} - 3x^{2} - 1;\]

\[определена\ и\ непрерывна\ \]

\[для\ всех\ x.\]

\[f^{'}(x) = 3x^{2} - 6x;\]

\[f^{'}(x) = 0:\]

\[3x^{2} - 6x = 0\]

\[3x(x - 2) = 0\]

\[критические\ точки:\]

\[x = 0;x = 2.\]

\[f(0) = - 1;\]

\[f(2) = - 5.\]

\[Точки\ экстремума:\]

\[(0; - 1);\ (2; - 5).\]

\[Промежутки\ возрастания:\]

\[x \leq 0;\ \]

\[x \geq 2.\]

\[Промежутки\ убывания:\]

\[0 \leq x \leq 2.\]

\[\textbf{б)}\ y = x^{4} - 2x^{2} + 3;\]

\[определена\ и\ непрерывна\ \]

\[для\ всех\ x.\]

\[f^{'}(x) = 4x^{3} - 4x;\]

\[f^{'}(x) = 0:\]

\[4x^{3} - 4x = 0\]

\[4x(x^{2} - 1) = 0\]

\[критические\ точки:\]

\[x = 0;x = \pm 1.\]

\[f(0) = 3;\]

\[f(1) = 2;\]

\[f( - 1) = 2.\]

\[Точки\ экстремума:\]

\[(0;3);\ \ (1;2);\ \ ( - 1;2).\]

\[Промежутки\ возрастания:\]

\[- 1 \leq x \leq 0;\ \]

\[x \geq 1.\]

\[Промежутки\ убывания:\]

\[x \leq - 1;\]

\[0 \leq x \leq 1.\]

\[\textbf{в)}\ y = - x^{3} + 3x + 1;\]

\[определена\ и\ непрерывна\ \]

\[для\ всех\ x.\]

\[f^{'}(x) = - 3x^{2} + 3;\]

\[f^{'}(x) = 0:\]

\[- 3x^{2} + 3 = 0\]

\[- 3x^{2} = - 3\]

\[x^{2} = 1\]

\[x = \pm 1.\]

\[критические\ точки:\]

\[x = \pm 1.\]

\[f(1) = 3;\]

\[f( - 1) = - 1.\]

\[Точки\ экстремума:\]

\[(1;3);\ \ ( - 1; - 1).\]

\[Промежутки\ возрастания:\]

\[- 1 \leq x \leq 1.\ \]

\[Промежутки\ убывания:\]

\[x \leq - 1;\]

\[x \geq 1.\]

\[\textbf{г)}\ y = x^{3} - 3x^{2} + 1;\]

\[определена\ и\ непрерывна\ \]

\[для\ всех\ x.\]

\[f^{'}(x) = 3x^{2} - 6x;\]

\[f^{'}(x) = 0:\]

\[3x^{2} - 6x = 0\]

\[3x(x - 2) = 0\]

\[x = 0;x = 2.\]

\[критические\ точки:\]

\[x = 0;\ \ x = 1.\]

\[f(0) = 1;\]

\[f(2) = - 3.\]

\[Точки\ экстремума:\]

\[(0;1);\ \ (2; - 3).\]

\[Промежутки\ возрастания:\]

\[x \leq 0;\]

\[x \geq 2.\ \]

\[Промежутки\ убывания:\]

\[0 \leq x \leq 2.\]

\[\textbf{д)}\ y = \frac{1}{3}x^{3} - 3x^{2} + 5x + 1;\]

\[определена\ и\ непрерывна\ \]

\[для\ всех\ x.\]

\[f^{'}(x) = x^{2} - 6x + 5;\]

\[f^{'}(x) = 0:\]

\[x^{2} - 6x + 5 = 0\]

\[D_{1} = 9 - 5 = 4\]

\[x_{1} = 3 + 2 = 5;\]

\[x_{2} = 3 - 2 = 1.\]

\[критические\ точки:\]

\[x = 5;\ \ x = 1.\]

\[f(5) = - 7\frac{1}{3};\]

\[f(1) = 3\frac{1}{3}.\]

\[Точки\ экстремума:\]

\[\left( 1;3\frac{1}{3} \right);\ \ \left( 5;\ - 7\frac{1}{3} \right).\]

\[Промежутки\ возрастания:\]

\[x \leq 1;\]

\[x \geq 5.\ \]

\[Промежутки\ убывания:\]

\[1 \leq x \leq 5.\]

\[\textbf{е)}\ y = \frac{1}{3}x^{3} + 3x^{2} - 7x - 2;\]

\[определена\ и\ непрерывна\ \]

\[для\ всех\ x.\]

\[f^{'}(x) = x^{2} + 6x - 7;\]

\[f^{'}(x) = 0:\]

\[x^{2} + 6x - 7 = 0\]

\[D_{1} = 9 + 7 = 16\]

\[x_{1} = - 3 + 4 = 1;\]

\[x_{2} = - 3 - 4 = - 7.\]

\[критические\ точки:\]

\[x = - 7;\ \ x = 1.\]

\[f( - 7) = 79\frac{2}{3};\]

\[f(1) = - 5\frac{2}{3}.\]

\[Точки\ экстремума:\]

\[\left( 1; - 5\frac{2}{3} \right);\ \ \left( - 7;\ 79\frac{2}{3} \right).\]

\[Промежутки\ возрастания:\]

\[x \leq - 7;\]

\[x \geq 1.\ \]

\[Промежутки\ убывания:\]

\[- 7 \leq x \leq 1.\]